Что значит «нормальный»?

Что значит «нормальный»?

Распределения цены актива имеют большое практическое значение для портфельных менеджеров. Стандартная финансовая теория предполагает, что изменения цены активов следуют нормальному распределению, имеющему форму хорошо известной колоколообразной кривой. Это предположение верно бо?льшую часть времени, что позволяет аналитикам использовать очень робастные (устойчивые) вероятностно-статистические методы оценки. Например, для выборки, подчиняющейся нормальному распределению, вы можете рассчитать среднее значение и охарактеризовать вероятный разброс значений относительно среднего.

Однако многое в природе, включая сотворенный человеком фондовый рынок акций, не соответствует понятию «нормальный»³. Многие природные системы имеют две определяющие характеристики: большее число меньших по величине частей и подобные друг другу части в разных масштабах. Например, дерево имеет большой ствол и множество меньших по размеру веток, при этом маленькие ветви подобны большим. Такие системы называются фрактальными. В отличие от нормального распределения никакая средняя величина не характеризует фрактальную систему. В приложении 32.1 визуально сравниваются нормальная и фрактальная системы и приведены графики плотности распределения вероятностей, соответствующие этим данным. Фрактальные системы подчиняются степенным законам⁴.

Использование статистики нормальных распределений для характеристики фрактальной системы, подобной финансовым рынкам, потенциально очень опасно. А между тем теоретики и практики проделывают это каждый день⁵. Различия между двумя системами сводятся к вероятностям и прибылям. Для фрактальных систем характерны немногие, но очень крупные события, выходящие за пределы нормального распределения. Классический пример – рыночный крах 1987 г. Вероятность, согласно нормальному распределению, более чем 20 %-ного падения рынка была бесконечно малой, близкой к нулю. А убытки тем не менее ошеломили, превысив $2 трлн.

Сравнение обычной игры в орлянку и санкт-петербургской игры иллюстрирует это. Предположим, вы подбрасываете монету и получаете $2, если выпадает орел, и ничего не получаете, если выпадает решка. Математическое ожидание выигрыша в такой игре равно $1, что также равняется сумме взноса, который вы были бы готовы заплатить, чтобы сыграть в эту игру в справедливом казино. Я смоделировал миллион раундов по 100 бросков в каждом (график распределения выигрышей показан в приложении 32.2) и, как и ожидалось, получил четкое нормальное распределение⁶.

Затем я смоделировал миллион раз санкт-петербургскую игру и также составил график распределения выигрышей (см. приложение 32.3). Хотя в основе лежит стохастический процесс, исходы подчиняются степенному закону. Например, в половине случаев выигрыш составляет $2, а в трех четвертях случаев – $4 или меньше. Однако серия из 30 бросков дает выигрыш $1,1 млрд, но вероятность такого исхода составляет лишь 1 к 1,1 млрд. Как мы уже говорили, фрактальная система характеризуется большим количеством мелких событий и несколькими очень крупными событиями. А средний выигрыш на игру в санкт-петербургском парадоксе непостоянен, так что никакое среднее точно не описывает долгосрочный результат игры.

Фрактален ли фондовый рынок? Бенуа Мандельброт доказал: при удлинении или сжатии горизонтальной оси прогрессии цен (фактически ускорении или замедлении времени) прогрессии цен действительно фрактальны. Мало того что редкие сильные изменения цены перемежаются большим количеством меньших изменений, так изменения цены еще и сходны в различных масштабах времени (например, на дневных, недельных и месячных интервалах). Мандельброт называет финансовые временны?е ряды мультифрактальными, чтобы отразить корректировку по времени.

В значимой и увлекательной книге «Причины краха финансовых рынков» геофизик Дидье Сорнетт доказывает, что распределения на фондовом рынке включают две различные совокупности: тело (которое можно смоделировать с помощью стандартной теории) и хвост (который создается совсем другим механизмом). Анализ Сорнеттом рыночных спадов убедительно опровергает предположение о том, что цены акций независимы друг от друга, – краеугольный камень классической финансовой теории. Его работа предлагает свежий и глубокий взгляд на недостатки теории финансов⁷.