Приложение к главе 1

Приложение к главе 1

Основные понятия теории игр

Право регулирует поведение людей в сложных ситуациях, когда в процессе их взаимодействия возникает конфликт. Его можно представить в виде математической модели, которая называется игрой. В зависимости от возможности предварительных переговоров между игроками различают кооперативные и некооперативные игры. Игра называется кооперативной, если до ее начала игроки образуют коалиции и договариваются о стратегиях. Примером кооперативной игры может служить образование коалиций в парламенте при голосовании. Мы будем иметь дело с играми, в которых игроки не могут координировать свои стратегии подобным образом. Действительно, если бы они могли договариваться, то необходимости в институте не возникало бы, а между тем цель нашего использования игр в главе 1 – объяснить, почему в определенных ситуациях возникает потребность в институте.

Игры, в которых каждый участник действует независимо от других и заинтересован в достижении наиболее благоприятного результата для себя при заданных правилах игры и существующих ограничениях, называются некооперативными. В некооперативных играх, даже если все участники взаимодействия выбирают такие варианты поведения, при которых достигается кооперация, они делают это только потому, что каждому из них это становится выгодным.

Каждая игра, описывающая конфликт при взаимодействии людей, должна содержать следующие составляющие:

1) множество участников взаимодействия, или игроков ; игрокам можно присваивать номера или имена;

2) описание возможных действий каждого из игроков, которые называются стратегиями;

3) набор выигрышей , которые получают игроки при каждом возможном исходе.

В теории игр предполагается, что выигрыши, которые получает каждый игрок, и стратегии, доступные им, известны всем игрокам, т. е. каждый игрок знает свои возможные стратегии и выигрыши и ему также известны стратегии и выигрыши другого игрока. На основе этой информации каждый игрок решает, какую стратегию выбрать. Цель каждого игрока – добиться максимального выигрыша (или минимального проигрыша), т. е. каждый игрок обнаруживает признаки человека экономического , который действует в собственных эгоистических интересах и максимизирует собственное благосостояние.

Выигрыш каждого из игроков зависит от того, какую стратегию выбрал этот игрок, а также от стратегии другого игрока. Зависимость выигрышей игроков от выбранных ими стратегий описывается матрицей выигрышей. Строки этой матрицы – это возможные стратегии первого игрока, а столбцы – возможные стратегии второго игрока. В каждой клетке матрицы располагаются пары выигрышей, которые определяются соответствующими стратегиями игроков. Напомним, что выигрыш первого игрока зависит не только от того, какую стратегию выбрал он сам (т. е. от номера строки), но и от того, какую стратегию выбрал второй игрок (т. е. от номера столбца). До того момента, когда взаимодействие действительно произойдет, игроки не знают точную величину своего выигрыша, т. е. осуществляют выбор в условиях неопределенности.

Мы будем иметь дело с играми, в которых принимают участие два игрока. На протяжении всего взаимодействия они будут выбирать только один вариант поведения, в этом случае стратегия игрока называется чистой в отличие от другой стратегии, которая называется смешанной , потому что игрок чередует варианты своего поведения в соответствии с определенной частотой выбора (вероятностью) каждой из стратегий.

Математические игры часто иллюстрируются с помощью обычных игр, в которые играют люди. Проиллюстрируем эти понятия на примере детской игры «камень – ножницы – бумага», правила которой всем хорошо известны [Kreps, 1997, р. 9—36]. В эту игру обычно играют вдвоем. Игроки – ребенок А и ребенок Б – одновременно выбирают один из трех возможных вариантов – камень, ножницы, или бумага. Это и будут возможные стратегии участников игры. В зависимости от того, какой выбор сделал каждый ребенок, игру выигрывает или ребенок А, или ребенок Б, возможна также ничья. Предположим, что в случае выигрыша ребенок получает 1, в случае проигрыша – теряет 1, а в случае ничьей – 0. Тогда эту игру можно представить в следующей форме:

В этой игре есть все необходимые составляющие:

два игрока – ребенок А и ребенок Б, у каждого игрока есть три доступные стратегии – сказать «камень», «ножницы» или «бумага». Стратегии ребенка А представлены в строках, а стратегии ребенка Б – в столбцах матрицы. Каждая клетка матрицы задает платежи, которые получит каждый участник при выборе соответствующих стратегий. Первая цифра в ячейке – это выигрыш ребенка А, вторая цифра в ячейке – выигрыш ребенка Б. Например, если ребенок А выберет камень (верхняя строка), а ребенок Б – бумагу (правый столбец), то ребенок А проиграет 1, а ребенок Б – выиграет 1 (результатом игры будет пересечение верхней строки и правого столбца).

Игры, представленные в подобной форме, называются матричными.

Одним из решений игры может быть нахождение равновесия по Нэшу , т. е. такого набора стратегий (по одной для каждого игрока), при котором ни один из игроков не имеет стимула в одностороннем порядке поменять свою стратегию. Или, выражаясь более просто, можно сказать, что игроки будут находиться в равновесии по Нэшу, если, узнав о выборе другого игрока, каждый из них остается довольным своим выбором.

Рассмотрим следующую игру:

Равновесием по Нэшу в этой игре является пара стратегий [2;2]. Если бы игроки А и Б одновременно изменили свой выбор в пользу стратегии «1», каждый из них увеличил бы свой выигрыш с 0 до 5. Однако это вряд ли возможно в ситуации, когда они выбирают стратегию одновременно и не могут повлиять друг на друга. У каждого игрока есть стимул отклониться от стратегии «1» в одиночку, так как тем самым он может увеличить свой выигрыш с 5 до 6. И даже если бы игроки могли заранее договориться о том, что каждый выберет стратегию «1» в ситуации, когда не существует гарантии выполнения обязательства не отклоняться от стратегии «1» или когда нет возможности наказать провинившуюся сторону, результат, скорее всего, не изменился бы.