Последовательность Фибоначчи

В «Liber Abacci» поставлена задача, из решения которой возникает последовательность чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 и так далее до бесконечности, сегодня известная как последовательность Фибоначчи. Задача формулируется следующим образом:

«Сколько пар кроликов, помещенных в закрытое пространство, можно получить за один год от одной пары кроликов, если каждая пара приносит каждый месяц, начиная со второго, новую пару?»

В поисках решения мы обнаруживаем, что каждой паре, включая первую, требуется месяц для созревания, но, начав плодиться, она приносит ежемесячно новую пару. К началу второго месяца у нас по-прежнему только одна пара. Таким образом возникает последовательность 1, 1. Эта первая пара в конце концов удваивает свое количество во время второго месяца, так что в начале третьего месяца имеется две пары кроликов. После этого старшая пара приносит третью пару в следующем месяце, так что в начале четвертого месяца последовательность расширяется до 1, 1, 2, 3. Из этих трех пар приносят потомство две старшие пары, а самая молодая – нет, и количество пар кроликов доходит до пяти. В следующем месяце потомство приносят три пары, а последовательность расширяется до 1, 1, 2, 3, 5, 8 и т. д. На рис. 3–1 показано древо популяции кроликов, где видно, что популяция растет с экспоненциальным ускорением. Если продолжать последовательность в течение нескольких следующих лет, цифры станут астрономическими. Через 10 месяцев, например, нам пришлось бы возиться с 3544224848179261915075 парами кроликов. Последовательность Фибоначчи, возникающая из задачки про кроликов, обладает многими интересными свойствами. Например, отношения между ее членами, находящимися на одинаковом расстоянии друг от друга, почти не изменяются.

Сумма любых двух соседних чисел последовательности равна следующему за ними члену: так, 1 плюс 1 равно 2, 1 плюс 2 равно 3, 2 плюс 3 равно 5, 3 плюс 5 равно 8 и так далее до бесконечности.