11.1 Геометрическое среднее

В финансах приличные люди используют не арифметическое, а геометрическое среднее. Надо перемножить все результаты и взять из них корень n-ой степени, где n — количество исходов. Это называется «геометрическое среднее», и используется оно только для положительных величин, а то из отрицательных неудобно чётную степень извлекать: комплексные числа очень сильно гуманитариев расстраивают.

Главное применение геометрического среднего — это оценка инвестиционной деятельности. Например, кто-то долго управляет деньгами. Как понять, хорошо он ими управляет или нет? Можно так: возьмём данные за несколько лет и посчитаем среднее, то есть сложим доходность за все годы и поделим на количество лет. Это первое, что приходит в голову. Но это не очень правильная мысль, потому что по уму-то следует взять не арифметическое, а геометрическое среднее доходностей. Объясню почему.

Возврат на инвестиции (return on investment, ROI) — это важнейший показатель, сколько процентов заработал управляющий от вложенной суммы. Валовая прибыльность — это возврат плюс единица.

САМЫЙ ПЛОХОЙ ДЛЯ УПРАВЛЯЮЩЕГО РЕЗУЛЬТАТ — ПОТЕРЯТЬ ВСЕ ДЕНЬГИ, ТО ЕСТЬ МИНУС СТО ПРОЦЕНТОВ. ЕСЛИ К ЭТОМУ ДОБАВИТЬ ЕДИНИЦУ, ПОЛУЧИТСЯ, ЧТО МИНИМАЛЬНО ВОЗМОЖНАЯ ПРИБЫЛЬНОСТЬ — ЭТО ИНВЕСТИЦИИ ПОМНОЖИТЬ НА НОЛЬ.

Произведение доходностей за разные годы никогда не будет отрицательным, и поэтому можно использовать геометрическое среднее. И не только можно, но и нужно. Почему?

Допустим, некто вкладывает ваши деньги и говорит: «Вот, отличная доходность у меня! Девять лет из десяти я зарабатывал по 20 % годовых». Вы спросите: «Ну а что за десятый год-то?» Он ответит, мол, в последний год не очень хорошо получилось — вышло минус 100 %. Вам, может быть, и хочется похвалить своего приятеля, и вы можете посчитать арифметическое среднее — это будет 8 % годовых: девять раз по 20 и один раз минус 100. Вроде и неплохо, да? Восемь годовых на протяжении десяти лет — не самый плохой результат. Вот только денег больше нет. Потому что если в любой год управляющий получил минус сто, не имеет значения, что там было в другие годы: денег у клиента уже никогда не добавится.

Геометрическое среднее всегда меньше арифметического[34], и различие между ними тем сильнее, чем сильнее различаются цифры результатов. Геометрическое куда менее оптимистично, и люди в финансах зачастую не хотят его использовать. И уж точно никто не станет использовать его в рекламе, где всё надо преподносить в розовом цвете.

Например, если акции в первый год упали на 10 %, а во второй год выросли на 30 %, тогда некорректно вычислять «среднее» увеличение за эти два года как среднее арифметическое (?10 % + 30 %)/2 = 10 %; правильное среднее значение в этом случае — около 8 %. Причина в том, что проценты имеют каждый раз новую стартовую точку: ведь +30 % — это от меньшего, чем цена в начале первого года, числа.

Если быть точным, то акции стоили $30 и упали на 10 %, значит, в начале второго года они стоят $27. Если потом акции выросли на 30 %, они в конце второго года будут стоить $35, потому что росли они от 27. Сложный процент в конце второго года: 90 % * 130 % = 117 %, 0.9*1.3, то есть общий прирост составил 17 %, а среднегодовой — корень из 117. Выходит, рост в процентах всего 8.2, а вовсе не 10 в год.