Последовательность Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи лежит в основе восстановлений Фибоначчи. Последовательность Фибоначчи представляет собой прогрессию величин, следующих очевидной числовой закономерности. В табл. 9.1 показано начало этой последовательности.

Последовательность Фибоначчи начинается с нуля и единицы, обозначенных в таблице как F0 и F1. Чтобы получить следующее число, нужно сложить эти два числа вместе. В данном случае получается снова 1 (0 + 1 = 1). Это первые самец и самка поголовья кроликов. Теперь последовательность выглядит как 0, 1 и 1. Сложение двух последних чисел последовательности (1 + 1) дает следующее число 2, и последовательность теперь выглядит как 0, 1, 1 и 2 (F3). Снова сложим две последние цифры (1 + 2) и получим следующее значение 3. Если продолжить в том же духе, то получим 2 + 3 = 5. Теперь мы видим, откуда взялись у Фибоначчи числа 3 и 5.

После 5 числовая прогрессия продолжается следующим образом: 3 + 5 = 8, 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21, 13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55, 34 + 55 = 89, 55 + 89 = 144 и т. д. Как видите, темп рождаемости у кроликов растет довольно быстро (что неудивительно).

Математический мистицизм этой последовательности проявляется, когда вы берете два следующих подряд числа – скажем, 144 и 233 – и делите большее число на меньшее. Значение приближается к дроби, которая называется золотым сечением. Золотое сечение, или, как оно называется в математике, ? (фи), является математической константой, как и значительно более популярная ? (пи), равная 3,14159265… Константа фи, однако, равна приблизительно 1,6180339887.

А если взять следующие подряд числа последовательности Фибоначчи, как, например, 144 (F12) и 233 (F13), то получится следующее значение:

144 ? 233 = 0,61802575…

Если взять два других идущих подряд числа, например 377 (F14) и 610 (F15), то получим:

377 ? 610 = 0,6180327…

Чем дальше мы будем продвигаться в последовательности Фибоначчи, тем больше это отношение будет приближаться к 0,6180339887… т. е. к десятичному выражению фи (хотя они и так уж очень близки).