Кумулятивные функции распределения

Кумулятивные функции распределения

Кумулятивная функция распределения дает интегральную картину распределения вероятности. Она рассматривает функцию вероятностной меры типа колоколообразной кривой и задает вопрос: «Какова вероятность того, что результат окажется меньше или равен такому-то?» Нормальная кривая показывает вероятность конкретного значения, a кумулятивная функция – вероятность данного спектра значений. Кумулятивная функция позволяет объединить понятие о неопределенности (теорию вероятности) с нашим инструментом для принятия решений (дерево решений). Она охватывает весь спектр возможных исходов при анализе переменных с множественными значениями.

Вернемся к примеру с нефтяной скважиной и посмотрим распределение значений возможной стоимости нефти (табл. 5.2):

При построении дерева решений мы исходили из возможного выигрыша в миллион. Такова была ожидаемая стоимость нефти – я выбрал эту сумму ради удобства. При распределении мы получаем широкий спектр значений. Как видно из таблицы, с вероятностью 0,005 прибыль может оказаться равной $6 млн и $50 000. Если все эти суммы умножить на соответствующие вероятности, указанные во втором столбце, а затем сложить произведения, получится тот самый $1 млн, ожидаемая стоимость.

Построив функцию кумулятивного распределения, человек, принимающий решение, устанавливает среднее, то есть ожидаемую стоимость, и с этого может начать анализ. Построение кумулятивного распределения позволяет объединить оценки вероятности верхней границы, середины и нижней границы спектра исходов и установить ожидаемую стоимость, что позволит принять решение.

В графической форме кумулятивное распределение исходов в диапазоне напоминает большую букву «S». На такой кривой сразу видны все возможные исходы, а не только разрозненные статичные точки. Как показано на следующем графике, Сэм Хьюстон считает, что все возможные в данном случае исходы попадают в непрерывный диапазон значений от 0 до $6 000 000.

Диапазон вероятностей от 0 до 1,0 кумулятивного распределения разбивается на части – квантили – методом медиан интервального ряда. В таблице именно так разделена ожидаемая стоимость. Например, чтобы разделить диапазон вероятности ожидаемой стоимости на пять частей, нужно взять квантили 0,1; 0,3; 0,5; 0,7 и 0,9. Эти квантили будут представлять собой среднее арифметическое в диапазонах значений 0–0,2; 0,2–0,4; 0,4–0,6; 0,6–0,8 и 0,8–1,0 соответственно.

Квантиль 0,5 равнозначен медиане, поскольку с каждой его стороны находится ровно половина возможных значений. Медиана не обязательно совпадает со средним, то есть центром нормального распределения. Медиана – это просто центр диапазона значений. Среднее – это сумма произведений всех вероятностей на соответствующие значения: именно так мы получили ожидаемую стоимость обнаружения нефти $1 млн.

Чтобы объединить концепцию кумулятивного распределения с деревом решения и принимать существенные управленческие решения, нужно представить себе все вероятные значения прибыли от нефтяной скважины. Диапазон значений можно изобразить в виде веера событий. Кому-то может не хватить терпения для представления бесконечных возможностей в виде ветвей дерева, и тут выручит кумулятивная вероятность.

Рисуем кумулятивное распределение. Чтобы представить кумулятивное распределение в графической форме, как показано ниже, следует опираться на собственное суждение и данные исследований. Нужно задать себе ряд вопросов:

• При каком значении в 50 % случаев результат оказывается выше или ниже заданного значения (медиана)?

• Каким будет значение нижнего конца спектра (квантиль 0,10)?

• Каким будет значение верхнего конца спектра (квантиль 0,90)?

Ответив на эти вопросы, вы сможете представить кумулятивную стоимость возможных исходов. Ограничившись пятью исходами или пятью квантилями кумулятивного распределения, вы можете изобразить веер событий и их вероятностей на дереве решений в виде пяти ветвей.

Ожидаемый денежный эквивалент будет таким же, как при первом рассмотрении, но только потому, что с самого начала для удобства была задана правильная величина ожидаемой стоимости.

Сокращенный вариант такого анализа называют методом Тьюки – Пирсона. Вместо пяти квантилей используется всего три – 0,05; 0,5 и 0,95. Соответствующие этим квантилям вероятности – 0,185; 0,63 и 0,185.

Применительно к крупным задачам дерево решений строится с помощью компьютерных симулякров Монте-Карло, самый популярный из них – Oracle. Дерево и параметры «веера событий» кумулятивного распределения включены в компьютерную модель. Программа прогоняет множество сценариев событий, чтобы дать вам представление, чем может обернуться дело. Некоторые из компаний Fortune 500 используют этот метод.

Кумулятивное распределение и анализ методом квантилей можно применять к ситуациям, в которых ожидаемая стоимость ветви дерева решений неопределенна. Однако важнее всего суждение аналитика. Дерево – это всего лишь инструмент, который МВА обязан использовать в сочетании со своими знаниями и интуицией.