Перевод фразы жирного тони «это не одно и то же» на язык математики, или Когда путают события и связанный с ними риск

Перевод фразы жирного тони «это не одно и то же» на язык математики, или Когда путают события и связанный с ними риск

В этом примечании я объясню также, что такое «выпуклая трансформация».

Пусть f (x) – это риск, связанный с переменной x. Можно также назвать f (x) «отдачей от x», «воздействием x», даже «полезностью отдачи от x», если функция f — это функция полезности. Переменная x может обозначать что угодно.

Пример: x — мощность землетрясения по какой-то шкале в определенной местности, f (x) – число людей, погибших в результате землетрясения. Как легко заметить, f (x) более предсказуемо, чем x (если мы переселим людей из этой местности, введем новые строительные нормы и правила и т. д.).

Пример: x — количество метров, которые я преодолеваю до столкновения с землей, когда кто-то сталкивает меня с высоты x, f (x) – состояние моего здоровья после падения. Разумеется, я не могу предсказать x (или предугадать, кто именно меня столкнет), в отличие от f (x).

Пример: x — количество машин в Нью-Йорке завтра днем, f (x) – время моей поездки из пункта А в пункт Б с определенной целью. f (x) может быть более предсказуема, чем x (поезжайте на метро, а еще лучше – прогуляйтесь).

Некоторые говорят про f (x), полагая, что они говорят про x. Это проблема смешения события и связанного с ним риска. Эта ошибка появилась еще у Аристотеля и распространилась в философии вероятности повсеместно (возьмите Иэна Хэкинга).

Можно стать более антихрупким в отношении x, не понимая x, – посредством выпуклости f (x).

Ответ на вопрос «что делать в мире, который мы не понимаем?» очень прост: нужно работать с нежелательными величинами f (x).

Часто куда легче модифицировать f (x), чем узнать что-либо про x. (Другими словами, проще стать неуязвимым, чем предсказать Черных лебедей.)

Пример: если я приобретаю страховку от падения рынка (здесь x) больше чем на 20 процентов, f (x) не зависит от той части распределения вероятностей, где x падает ниже 20 процентов, и невосприимчива к изменению параметра масштаба. (Это пример штанги.)

^{Рис. 27. Выпуклая трансформация (f (x) – выпуклая функция от x). Разница между x и риском, который связан с x. На втором графике риск потерь отсутствует. Главное – модифицировать f (x) так, чтобы свойства x на левом графике распределения вероятностей волновали нас как можно меньше. Этот метод называется выпуклой трансформацией, иначе – «стратегия штанги».}

Заблуждение «зеленого леса»: когда путают f (x) с другой функцией g (x), у которой наблюдается другая нелинейность.

Математическим языком: если мы антихрупки в отношении x, разброс (или переменчивость, или другие меры дисперсии) величины x выгоден f (x), потому что математическое ожидание асимметричного распределения зависит от дисперсии, и если распределение скошено вправо, дисперсия всегда увеличивает его ожидание (у логнормального распределения, например, формула математического ожидания включает в себя компоненту +? ?²).

Далее, распределение вероятностей для f (x) существенно отличается от распределения вероятностей для x, особенно в условиях нелинейности.

Когда f (x) выпукла (вогнута) монотонно, f (x) скошена вправо (влево).

Когда f (x) возрастает и выпукла слева, но вогнута справа, у распределения вероятностей для f (x) более тонкие хвосты, чем у распределения для x. Так, в теории перспектив Канемана-Тверски полезность изменений благосостояния более «неуязвима», чем полезность самого благосостояния.

Почему отдача важнее, чем вероятность (специальный раздел): Если p (x) – это плотность, то математическое ожидание ? f (x) p (x) dx, зависит больше от f, чем от p, и чем более нелинейно f, тем больше оно зависит от f, чем от p.