Переход от анализа объекта к разработке средств анализа

Переход от анализа объекта к разработке средств анализа

Смотрите, какой здесь ход: когда мы зафиксировали два исключающих друг друга высказывания, причем доказали, что оба правильны, у нас получается парадокс, или, как говорили древние, апория, антиномия, т.е. два взаимоисключающих утверждения.

Тогда надо перестать смотреть на объект и его исследовать, а обратиться к средствам своего анализа, видоизменить и трансформировать понятия. И только изменив все это, можно найти правильные характеристики и оценки объекта, снять парадокс и разрешить проблему.

Решение проблемы состоит в конструировании новых, более точных и более адекватных понятий. Но для этого надо еще выйти на проблему. Значит, проблема возникает не тогда, когда один сказал правильно, а другой сказал неправильно, а когда оба исключающих друг друга положения правильны, и тогда нам нужно искать новые средства представления объекта.

По ходу дела — еще один интересный парадокс. Вот натуральный ряд чисел:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

Вы, конечно, скажете, что число полных квадратов всех простых чисел меньше, чем число всех чисел:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 …

Ведь квадраты у нас: один, потом четыре, потом девять и т.д.

Теперь, смотрите, другая процедура. Один в квадрате — один, два в квадрате — четыре, три — девять и т.д. Скажите, я дойду когда-нибудь до такой ситуации, когда не смогу поставить в соответствие числу его квадрат? Нет. Значит, говорю я, число квадратов точно такое же, как и число чисел.

1

2

3

4

5

6

7

8

9…

1

4

9

16

25

36

49

64

81…

И в 1889 г. Кантор вводит понятие мощности множества и говорит, что по отношению к бесконечным множествам отношение «равно или не равно» в принципе неприменимо. Здесь нельзя работать с понятием равенства и неравенства.

Здесь есть одна процедура, примененная к объектам, и другая процедура, примененная к тем же самым объектам. И одна процедура дает один результат, а другая процедура — другой результат. А объект один и тот же. Вот мы сопоставляем два движения: падение по вертикали и падение по наклонной. Или берем ряды квадратов и просто чисел. И есть две процедуры их сопоставления. Один раз мы вынимаем часть, производим разбиение множества на подмножества, а в другой процедуре мы устанавливаем взаимно однозначные соответствия и формируем два равномощных множества.

Тайна состоит в том, что, если вам нечто удалось привести к парадоксу, это значит, что вы открыли проблему, нашли в системе понятий слабое место.