9.5 Ожидание мата

Ещё одна важная концепция, которую мы будем использовать, — это матожидание. Кто-то может называть его средним или наиболее ожидаемым результатом — это примерно взаимозаменяемые термины. Можно их немного по-разному объяснять в зависимости от того, говорим ли мы о среднем из выборки или из всей совокупности событий.

Но сначала надо таки понять, что такое случайная величина. Если мы проводим эксперимент и результат эксперимента — какое-то непредсказуемое число, то наш эксперимент выдаёт случайную величину. Ну, к примеру, если мы бросаем монету и присвоим решке 0, а орлу — 1, тогда вот мы и определили случайную величину.

Существуют дискретные (то есть прерывистые) случайные переменные, типа той, что я только что привёл в пример, — у неё могут быть только конкретные значения. Когда мы имеем дело со случайными, но вполне определёнными событиями в идеальных условиях (как, например, подбрасывание абсолютно честной монеты), вероятность происшествия — это число нужных нам исходов, делённое на число всех возможных исходов. Так, два раза бросив монету, мы получим вероятность выпадения нужных нам двух решек в виде 1/4, потому что исхода у нас четыре (решка-решка, решка-орел, орёл-решка и два орла) — и все они имеют одинаковые шансы.

Есть ещё непрерывные случайные величины, которые на некотором отрезке могут принимать любое значение. Ну вот возьмём мы, смешаем зачем-то горячий чай и холодную водку и опустим туда термометр. Кстати, его тоже изобрели в 17-м веке, и тогда концепцию температуры — для нас привычную и понятную — только-только начали применять. Вы уже догадались, что в нашем стакане с волшебным чаем температура — величина непрерывная, у неё неограниченное количество возможных значений, хотя минимальное и максимальное мы представляем неплохо.

Для дискретных случайных переменных матожидание можно обозначить греческой буквой ? (мю), и оно будет суммой всех результатов, помноженных на вероятность каждого из них.

В СЛУЧАЕ БРОСКА НАШЕЙ УСЛОВНОЙ МОНЕТЫ МАТОЖИДАНИЕ БУДЕТ РАВНО ОДНОЙ ВТОРОЙ, И РЕЗУЛЬТАТА ТОЛЬКО ДВА.

А вообще, конечно, их может быть любое число, в том числе и бесконечное. Но их можно сосчитать и узнать средневзвешенную оценку, а она и называется матожиданием. Также его называют средним арифметическим. Но чтобы его посчитать, мы должны знать точные вероятности.

Для пущей ясности возьмём обычный шестигранный кубик. Очевидно, что вероятность выпадения каждой цифры — одна шестая. Сумма всех выпадений — 1+2+3+4+5+6 = 21. Берём от каждой одну шестую, складываем вместе (или просто 21 делим на 6), получаем три с половиной. Значит, матожидание броска кубика — 3.5. Если мы много раз бросим кубик и посчитаем среднее, то получится число, близкое к 3.5. Понятно, что в случае броска одного кубика ожидать 3.5 бессмысленно, а вот в случае двух ждать семёрки — очень хорошая идея.

Кроме среднего ещё есть медиана — это когда половина результатов эксперимента больше, а половина меньше этой цифры. Она часто используется в демографии — зарплату по регионам корректнее сравнивать не среднюю, а медианную, потому что очень маленькие или очень большие зарплаты искажают реальную картину. А на медиану они не влияют.

Если нам потребуется матожидание непрерывных функций, то идея там точно такая же, но складывать надо интегралы. Слово страшное (сам его боюсь), но вообще это просто сумма площадей под графиком функции. Например, взять температуру — вероятность того, что термометр покажет у кипятка ровно 100 градусов, равна нулю, потому что он всегда может показать 100 и одну тысячную или 99.999. Таких цифр бесконечное количество, и у каждой конкретной из них вероятность равна нулю. Но можно посмотреть, например, плотность вероятности у какого-либо отрезка.