11.5 Корки и кости под ноги бросьте

Вернёмся к теории вероятности. Расскажу ещё об одной задаче, совсем недавно её встретил, и она меня заинтересовала своей провокацией на ошибку. Представьте, что вам предлагают пари: бросить два кубика, и если на них выпали только 1, 2, 3 или 4, тогда вы выиграли. Но если там есть 5 или 6, тогда вы проиграли. Вам предлагают поставить на такой эксперимент 10 долларов. Соглашаться или нет?

Очень многим кажется: ну как же так, понятно, что 5 и 6 выпадает в два раза реже, чем 1, 2, 3 и 4. Пять и шесть всего в 1/3 случаев, а 1, 2, 3, 4 — в 2/3 случаев. Конечно, надо соглашаться. В чём здесь подвох?

Дело в том, что достаточно лишь одной пятёрки или шестёрки из двух кубов, чтобы проиграть пари. Всего у броска двух костей 6х6=36 исходов, но для выигрыша нам подходит только 16 из них: когда на первом кубике выпадает 1, 2, 3, 4 и на втором — тоже одна из этих цифр. Если все возможные исходы представить в виде таблицы 6 на 6, получится, что пятёрка и шестёрка со второго кубика портит целый ряд 1-2-3-4 первого кубика, и наоборот.

Выходит, что шансы того, что с двух кубов выпадет ровно одна пятёрка либо шестёрка, такие же, как и что не выпадет, — 16 вариантов. Но есть же ещё 4 варианта, когда на обоих кубиках выпадают только пятёрки и шестёрки. В итоге получается, что выигрываем мы в 16 случаях из 36, а проигрываем — в 20. Вероятность выиграть такое пари — 4/9, или около 44 %, а проиграть — 5/9 — около 56 процентов.

Посчитаем матожидание при ставке 10 долларов: +$10*4/9-$10*5/9=-$1.11, минус доллар с гривенником и центом сверху. Так что теперь вас таким пари не обмануть. Тут вам повезло.