Типы моделей

Аналитики и компании для решения аналитических задач и принятия решений на основе анализа используют множество типов моделей. Мы не собираемся учить читателей статистике, но считаем, что им было бы полезно знать, какие критерии применяют количественные аналитики, выбирая наиболее адекватную модель. Это поможет читателям сделать первые шаги в бизнес-аналитике и твердо усвоить ее основы. Если мы хотим знать, какие типы моделей лучше всего подойдут в том или ином случае, надо оценить специфику ситуации с точки зрения тех, кто принимает решения (или их аналитиков).

• Чтобы правильно выбрать модель, надо ответить на три основных вопроса.

• Сколько переменных подлежат анализу? Возможны такие варианты ответа: одна переменная (одномерная модель), две переменные (двумерная модель), три и более переменных (многомерная модель). Последний вариант ответа достаточен для решения любой проблемы.

• Требуется ли нам описание решения проблемы или просто ответы на поставленные вопросы? Описательная статистика просто описывает имеющиеся данные и не пытается делать выходящих за их рамки обобщений. Средние значения, медианы и стандартные отклонения – вот классический пример описательной статистики. Они весьма полезны, но не слишком интересны с математической или статистической точки зрения. Индуктивная статистика исследует выборку из какой-либо совокупности и распространяет выводы о средних характеристиках ее объектов на всю совокупность. Примеры такой статистики – корреляционный и регрессионный анализ (см. далее): они включают оценку вероятности того, что взаимосвязи, выявленные на основе выборки, характерны и для всей совокупности. Статистики и количественные аналитики обычно отдают предпочтение индуктивной статистике по сравнению с описательной.

• Насколько точно можно оценить значения интересующих переменных? Некоторые методы оценки описаны во вставке «Методы измерения данных».

Конкретный тип используемой вами (или вашими квантами) модели зависит от того, какого вида ваш аналитический проект и какого типа данные. Некоторые характеристики проектов и массивов данных, а также моделей, выбранных для их обработки, описаны ниже. Мы рассмотрели далеко не все типы моделей, но из тех, которые изо дня в день используются организациями для аналитики, здесь представлены примерно 90 процентов.

Модели с двумя числовыми переменными. Если требуется установить взаимосвязь между двумя числовыми переменными, то проще всего это сделать с помощью корреляционного анализа. Это один из простейших видов статистического анализа. В типичном случае с его помощью можно установить, меняется ли одна переменная с изменением другой. Для примера возьмем рост и вес человека. Можно ли утверждать, что вес человека увеличивается с увеличением его роста? Как правило, так и бывает, поэтому можно утверждать, что эти две переменные коррелируют между собой. Поскольку корреляционный анализ является одним из методов индуктивной статистики, существуют способы определить: может ли определенный уровень корреляции быть случайным? Если вам, например, говорят, что «статистическая значимость связи равна 0,05», то это означает, что в пяти случаях из ста наблюдается согласованное изменение анализируемых показателей.

Две категориальные переменные или больше. Если вы используете данные опросов и они представлены номинальными категориями (например, мужской и женский пол; молодой, средний или пожилой возраст), то вам понадобится ряд аналитических процедур для анализа категориальных данных. Результаты этого вида анализа часто оформляют в виде таблицы, в ячейках которой указано количество наблюдений. Например, если вы устанавливаете связь между полом и продолжительностью жизни, то обнаружите, что численность мужчин и женщин в молодом и среднем возрасте примерно одинакова, но поскольку женщины обычно живут несколько дольше, чем мужчины, то в старшем возрасте их численность будет выше. Если эта или подобная закономерность присутствует в вашем массиве данных, то таблица покажет значимую (то есть вряд ли случайную) взаимосвязь в соответствии со значением такого статистического критерия, как хи-квадрат. Взаимосвязь может быть значимой при уровне значимости 0,05 или 0,01. Такие бинарные категориальные переменные, как пол, можно также обрабатывать с помощью регрессионного анализа, используя при этом фиктивные переменные: то есть такие, которые получают значение 0 при отсутствии признака (например, мужского пола), и 1 при его наличии.

Более чем две количественные переменные. Если количественных переменных более двух, то проводится углубленный анализ корреляционной связи, называемый регрессионным анализом: иногда множественной регрессией (если для объяснения динамики одной переменной используются несколько других переменных), а иногда линейной регрессией (если взаимосвязь между переменными остается стабильной (линейной) во всех интервалах их значений). Регрессия представляет собой метод подбора уравнения (или линии, если речь идет о графическом выражении), описывающего совокупность собранных в прошлом данных. Если вам это удалось, то с помощью уравнения регрессии можно прогнозировать поведение переменных в будущем. В регрессионной модели каждой независимой переменной приписывается определенный коэффициент, отражающий (или прогнозирующий) ее «вес» в модели.

В качестве примера множественной линейной регрессии можно привести случай из практики экономиста из Принстона Орли Ашенфельтера. Он использовал регрессионный анализ для прогнозирования аукционных цен на марочные французские вина. Его прогноз аукционных цен основывался на погоде в период сбора урожая вин этого года – и вызвал шок в среде экспертов по винам и даже привел их в ярость. (Газета New York Times опубликовала на первой странице статью об этом прогнозе под названием «Уравнение цены на вино вывело из строя многие носы»[38].) Если у вас есть хорошее уравнение, то зачем вам эксперты?

Большинство экспертов сходятся в том, что хорошее вино получается в том случае, если предшествующая зима была дождливой, в сезон созревания винограда стояла теплая погода, а в сезон его сбора – сухая. Таким образом, Ашенфельтер выбрал три независимые переменные, относящиеся к погоде и влияющие на качество винограда: средняя температура воздуха в период созревания и количество осадков в период сбора винограда, а также количество осадков в предшествующую зиму. Кроме того, поскольку вкус вина, как правило, зависит от его выдержки, еще одной независимой переменной стала продолжительность выдержки в годах.

Качество сбора винограда влияет на цену зрелого вина, которая и становится зависимой переменной, которую Ашенфельтер пытался предсказывать. Он собрал информацию о ценах на лондонском аукционе за шесть бутылок бордо шато в 1960–1969 годы. Этот период был выбран потому, что вина, сделанные из урожая сборов этих лет, уже созрели, а в их качестве не было сомнений. Данные о значениях независимых переменных предоставило бюро прогнозов погоды из района выращивания винограда.

Ашенфельтер составил регрессионное уравнение логарифма цены вина, включающее показатели возраста вина и параметров погоды. Он получил такое выражение:

Качество вина = 12,145 (константа) + 0,0238 ? Возраст вина + 0,616 ? Средняя температура периода созревания 0,00386 ? Количество осадков в период сбора урожая + 0,0017 ? Количество осадков предшествующей зимой.

Как показывают значения коэффициентов при переменных, возраст вина, умеренная температура в период созревания и количество осадков в течение предшествующей зимы оказывают прямое положительное влияние на цену вина. Осадки в период сбора урожая оказывают негативное влияние на качество вина. Коэффициент детерминации R-квадрат (подробнее см. во вставке «Основные статистические концепции и аналитические приемы») для этого уравнения составляет 0,828, что означает, что включенные в уравнение переменные на 83 процента объясняют отклонения в ценах на вино. Коротко говоря, эти переменные в совокупности играют определяющую роль в процессе установления цен. Легко понять, почему эксперты сочли эти результаты до некоторой степени спорными и менее интересными, чем бесконечные разговоры о терруаре[39], дубовых бочках и переспевшем винограде.

Основные статистические концепции и аналитические методы[40]

Дисперсионный анализ (ANOVA). Статистический тест на равенство средних значений двух и более групп.

Причинно-следственная связь. Взаимосвязь между двумя событиями (причиной и следствием), когда второе событие считается последствием первого. В типичном случае причинно-следственная связь – это зависимость между рядом факторов (причинами) и результирующим фактором (следствие). Наличие причинно-следственной связи требует соблюдения трех условий:

• Событие-причина должно предшествовать событию-следствию во времени и пространстве.

• При наличии причины наступает следствие.

• При отсутствии причины следствие не наступает.

Кластеризация, или кластерный анализ. Распределение результатов наблюдений (записей в базе данных) по группам (кластерам) таким образом, что результаты в одной группе имеют сходные черты, в то время как результаты разных групп отличны друг от друга. Кластеризация является основной задачей интеллектуального поиска данных и стандартным приемом анализа статистических данных в самых разных областях.

Корреляция. Степень зависимости двух или более переменных друг от друга. Степень зависимости выражается коэффициентом корреляции, принимающим значения в интервале от 1,0 до –1,0.

Если коэффициент корреляции равен +1 (полная положительная корреляция), то это означает, что обе переменные пропорционально изменяются в одинаковом направлении.

Коэффициент корреляции равен 0 – между переменными нет связи.

Если коэффициент корреляции равен –1 (полная отрицательная корреляция), то это означает, что при возрастании одной переменной вторая уменьшается.

Наличие корреляции не обязательно означает, что имеется причинно-следственная связь. Иначе говоря, корреляция является необходимым, но не достаточным условием причинности.

Факторный анализ. Статистический метод, раскрывающий взаимосвязь между многими переменными или объектами. Это позволяет объединить взаимосвязанные переменные в группы, называемые факторами. Такой прием часто используется для структурирования и/или сокращения количества видов данных. Например, если исследователю предстоит проанализировать более сотни переменных, факторный анализ позволит объединить их в десяток комбинированных показателей, каждый из которых отражает динамику десятка исходных переменных.

Зависимая переменная. Переменная, значение которой неизвестно и подлежит прогнозированию или объяснению. Например, если вы хотите предсказать качество вина урожая определенного года на основе среднегодовой температуры периода созревания, количества осадков в период сбора урожая и в предшествующую зиму, то качество вина будет зависимой переменной. Иногда используются еще термины «объясняемая переменная» и «результирующий фактор».

Независимая переменная. Переменная, значение которой известно и применяется для прогнозирования или объяснения динамики зависимой переменной. Например, если вы хотите предсказать качество вина на основе исследования различных переменных (средняя температура в период созревания, количество осадков в период сбора и предыдущей зимой, возраст вина), то эти переменные и будут независимыми. Иногда их называют еще объясняющими переменными, переменными регрессии, фактор-аргументами.

Регрессия. Статистический метод, позволяющий построить уравнение для оценки неизвестного значения зависимой переменной через известные значения одной или более независимых переменных. Простая регрессия означает, что для оценки зависимой переменной используется одна независимая переменная. Множественная регрессия означает, что для прогнозирования зависимой переменной используются несколько независимых переменных. Логическая регрессия использует несколько независимых переменных для прогнозирования бинарной категориальной зависимой переменной (то есть переменной вида да/нет, за/против, покупать/не покупать).

R-квадрат (R2). Наиболее популярный показатель для оценки степени совпадения рассчитанной регрессии с данными выборки, по которой произведен расчет. R-квадрат отражает также степень изменчивости зависимой переменной по сравнению с рассчитанной линией регрессии. Его значение колеблется в интервале от 0 до 1, и если оно равно, например, 0,52, то это означает, что 52 процента вариации зависимой переменной объясняется независимыми переменными, включенными в уравнение регрессии. В общем случае чем выше значение R2, тем более адекватной считается модель.

Проверка гипотез. Системный подход к проверке исходного предположения об окружающей реальности. Он включает сопоставление исходной гипотезы или утверждения с доказательствами истинности и на этом основании принятие решения о том, следует ли признать ее истинной или ложной. Гипотезы можно разделить на два вида: нулевая гипотеза и альтернативная гипотеза. Суть нулевой гипотезы (H0) состоит в том, что между результатами приведенных наблюдений не существует статистически значимой связи[41].

Альтернативная гипотеза (Ha или H1) исходит из предположения о наличии такой связи. Проверка гипотез включает в себя сравнение эмпирически выявленных закономерностей в выборке с теоретически предполагаемыми (то есть предполагаемыми для случая, если нуль-гипотеза верна). Например, если вы хотите предсказать качество вина на основе его возраста, то нулевая гипотеза будет звучать следующим образом: «Возраст вина не влияет на его качество», в то время как альтернативная гипотеза такова: «Возраст вина существенно влияет на его качество». Данные собираются и анализируются с целью установления соответствия Н0. Редкие или нестандартные результаты наблюдений (часто определяемые по р-значению ниже определенного уровня) являются показателем того, что Н0 ложная; это означает, что существует статистически значимая вероятность того, что альтернативная гипотеза истинна.

Р-значение. В процессе проверки гипотез р-значение показывает вероятность подтверждения данными истинности нулевой гипотезы. Невысокое р-значение указывает на небольшое количество или нестандартный характер данных, подпадающих под нулевую гипотезу, что, в свою очередь, говорит о ее ложности (отсюда можно сделать вывод, что истинна альтернативная гипотеза). При тестировании гипотез мы «отбрасываем нулевую гипотезу», если р-значение меньше, чем уровень значимости ? (альфа греческого алфавита), который обычно равен 0,05 или 0,01. Если нулевая гипотеза отбрасывается, то результат считается статистически значимым.

Уровень значимости альфа (?). Уровнем значимости называется такое максимальное отношение количества нетипичных выборочных значений (выбросов) ко всему объему выборки, что нулевая гипотеза отклоняется[42].

Иными словами, уровень значимости показывает количество нетипичных наблюдений (выборочных значений), необходимых для признания ложности нулевой гипотезы. Обычно уровень значимости задается как 5 процентов (0,05), но в ситуациях, когда предъявляются особенно строгие требования к доказательству истинности альтернативной гипотезы, этот показатель может быть задан и на более низком уровне, например 1 процент (0,01). Значение ?, равное 5 процентам, означает, что для отбрасывания нулевой гипотезы как ложной достаточно наличия менее 5 процентов нетипичных данных от их общего количества (при условии истинности нулевой гипотезы). На практике это требование часто проверяется путем расчета р-значения. Если р-значение меньше, чем ?, то нулевая гипотеза признается ложной, а альтернативная гипотеза – истинной.

Ошибка первого рода, или ошибка ?. Эта ошибка возникает, когда нулевая гипотеза истинна, но тем не менее отбрасывается. В традиционной проверке гипотез нулевая гипотеза отбрасывается в том случае, если р-значение меньше, чем ?. Таким образом, вероятность ошибочного отбрасывания нулевой гипотезы как ложной равняется ?, почему эта ошибка и называется ошибкой ?.

Тест (статистический критерий) ?-квадрат. Статистический тест, отражающий соответствие данных выборки определенному типу распределения. Измерение этого критерия обычно показывает расхождение между фактическим распределением событий и ожидаемым исходя из некоего заданного распределения. Наиболее часто используется для проверки соответствия фактического распределения заданному.

t-тест, или t-критерий Стьюдента. Метод статистической проверки гипотез путем проверки равенства средних значений двух выборок или проверки равенства среднего значения одной выборки некоторому заданному значению.

Во вставке «Основные статистические концепции и аналитические приемы» мы описали наиболее часто встречающиеся индуктивные статистические модели (мы уже говорили, что описательные и ориентированные на отчеты модели полезны, но не слишком интересны с точки зрения количественного анализа). Конечно, написано множество книг на эту тему, поэтому мы сделаем только краткий обзор.