3.2.3. Коэффициент асимметрии

Этот показатель выражает меру асимметричности платежной функции портфеля относительно определенного индекса (например, S&P 500). Основная идея состоит в том, что большинство стратегий, связанных с продажей непокрытых опционов, базируется на принципе маркет-нейтральности. Если портфель действительно нейтрален по отношению к рынку, то его платежная функция будет симметричной – это означает, что как при росте, так и при падении рынка стоимость портфеля будет изменяться приблизительно одинаково (разумеется, при равных величинах роста и падения). Если же нейтральность нарушена, то платежная функция будет смещенной относительно текущего значения индекса, а коэффициент асимметричности будет выражать меру этого смещения.

Поскольку стоимость портфеля P равна сумме стоимостей входящих в его состав опционов, то зависимость стоимости портфеля от изменений индекса I можно выразить суммой:

где O_i – стоимость i-го опциона, ? – относительное изменение индекса (например, ? = 0,12 означает, что индекс вырос или упал на 12 %), другие символы имеют тот же смысл, что и в предыдущих разделах. Зависимость A_i от I ? ? и можно выразить с помощью беты ?_i, которая представляет собой коэффициент линейной регрессии доходностей базового актива и доходностей индекса. Зная бету, можно приблизительно определить стоимость базового актива при условии, что индекс изменится на заданную величину:

Используя модель Блэка?Шоулза, можно вычислить стоимости всех входящих в портфель опционов при условии, что цены их базовых активов равны значениям, рассчитанным по формуле 3.2.6. Суммируя полученные значения, получаем стоимость портфеля, соответствующую формуле 3.2.5. Нам необходимо рассчитать две стоимости портфеля – для случая роста индекса на величину I ? ? и для случая его падения на такую же величину. Обозначим эти стоимости P(A_i(I,?)) и P(A_i(I, ? ?)) соответственно. Имея эти значения, можем рассчитать коэффициент асимметрии портфеля по следующей формуле:

Если построить график платежной функции портфеля, отложив по оси X значения индекса, а по оси Y стоимость портфеля, то Asym можно представить как модуль коэффициента наклона прямой, соединяющей две точки графика с абсциссами X = I(1 + ?) и X = I(1 ? ?). Чем больше величина коэффициента отклоняется от нуля, тем более асимметрична платежная функция (если коэффициент равен нулю, то платежная функция портфеля полностью симметрична).

В таблице 3.2.3 приведены данные, необходимые для расчета коэффициента асимметрии портфеля, состоящего из 10 коротких стрэддлов (для простоты предположим, что количество каждого опциона в портфеле равно единице x_i = 1). Например, цена акции ED при ? = 0,23 и росте индекса на 10 % (? = 0,1) будет равна 37,92(1 + 0,23 ? 0,1) = $38,79. Подставляя это значение в формулу Блэка?Шоулза вместо текущей цены акции, находим, что стоимость опциона колл равна $1,89, а стоимость пут $3,06. Определив таким образом стоимости всех опционов, суммируем их и находим, что в случае роста индекса стоимость портфеля составит $46,66, а в случае падения – $31,46. Подставляя эти данные в формулу 3.2.7 и учитывая, что значение индекса S&P 500 на дату создания портфеля было 954,58, находим: