Расчет индексной дельты

Рассмотрим портфель, состоящий из опционов на различные активы. Пусть {O₁, O₂, O₃…, O_N} представляет множество составляющих портфель опционов, причем базовым активом опциона O_i является A_i. Если при j ? k активы A_i и A_k совпадают, то речь может идти об опционной комбинации, построенной в рамках определенной торговой стратегии (например, стрэнгл, стрэддл, календарный спред и т. д.). В принципе комбинации могут состоять из неограниченного количества разных опционов, относящихся к одному базовому активу, а портфель – из неограниченного количества комбинаций.

Для каждого опциона O_i, входящего в состав портфеля, мы имеем опционную дельту:

где величины ?O₁ и ?A₁ обозначают малые изменения цен опциона и его базового актива соответственно. Это выражение дает наглядное представление о дельте как о скорости изменения цены опциона по отношению к изменению цены его базового актива.

Вычисление дельты D_i одного опциона не представляет сложности и реализовано во многих компьютерных программах. Переходя к портфелю, состоящему из опционов на разные базовые активы, мы не можем суммировать дельты разных опционов, поскольку они являются частными производными функций (премий) по разным независимым переменным (ценам акций). Как было сказано выше, эту задачу мы будем решать, вычисляя скорость изменения стоимости опциона по отношению к индексу, а не к отдельным базовым активам. Определим дельту по отношению к индексу как производную цены опциона по значению индекса:

Эту индексную дельту можно также представить в следующем виде:

Величина так же, как и бета показывает изменение цены базового актива при изменении индекса (разница между ними в том, что первая является размерной величиной, а вторая – безразмерной, выраженной отношением относительных изменений двух величин). Бета традиционно используется для оценки взаимосвязи между движениями индекса и отдельного актива. Для наших целей будет удобно представить бету в виде следующего отношения:

Произведя несложные преобразования

подставим полученное выражение в формулу (3.2.1). Получаем индексную дельту одного опциона:

где ?_i – дельта опциона относительно его базового актива. Количество единиц опциона O_i, входящее в состав портфеля, обозначим через x_i. Для вычисления индексной дельты D_portfolio всего портфеля суммируем дельты отдельных опционов, входящих в портфель с учетом их количества:

Индексную дельту, рассчитанную по формуле (3.2.3), можно интерпретировать как изменение стоимости портфеля при изменении значения индекса на один пункт. Более удобно выражать изменение стоимости портфеля при изменении индекса на некую процентную величину. Это позволит оценить чувствительность портфеля к относительным изменениям индекса. Например, простое преобразование формулы (3.2.3) позволяет вычислять «процентную индексную дельту» для изменения индекса на 1 %: